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By Prof. Dr. Otto Forster (auth.)

Dr. Otto Forster ist Professor am Mathematischen Institut der Ludwig-Maximilians-Universität München und Autor der bekannten Lehrbücher research 1-3.

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Satz. In einem euklidischen Ring R besitzenje zwei Elemente x, y E R einen gropten gemeinsamen Teiler. Beweis. Falls y = 0, ist x ein gr6:Bter gemeinsamer Teiler. Wir k6nnen also y -I 0 voraussetzen. 3. Wir beweisen die Behauptung durch vollstandige Induktion iiber die natiirliche Zahl (3(y). 25 Der euklidische Algorithmus Induktionsanfang f3(y) = o. Dann bleibt bei der Division von x durch y kein Rest, also ist y gr6fiter gemeinsamer Teiler. Induktionsschritt. Wir fUhren Division mit Rest durch: x = qy + r, wobei r = 0 oder f3(r) < f3(y).

In der Zeile while q := factor16(x,q) do beachte man, dass in ARIBAs (wie in der Programmiersprache C) eine Zuweisung als Wert weiterverwendet werden kann und dass iiberall dort, wo ein boolescher Wert erwartet wird (wie hier als Bedingung fiir die while-Schleife), auch ein Integer- Wert eingegeben werden kann. Der Wert 0 wird dann als false interpretiert, jeder Wert ungleich 0 als true. 1m obigen Code wird also die while-Schleife genau dann abgebrochen, wenn kein Faktor mehr gefunden wird. Zwei Beispiele mit den Zahlen 10 16 + 1 und 10 17 + 1: ==> factors(10**16 + 1).

A) Fur den Ring Z kann man (3 als die gewohnliche Betragsfunktion wahlen, (3(x) := Ixl. 5. §4 24 b) 1m Ring der ganzen Gau:B'schen Zahlen setzen wir Es ist also (3(z) = Iz12, wobei Izl den iiblichen Betrag fUr komplexe Zahlen bezeichnet. Seien nun z, w E Z[i], w 1: 0 und c := z/w der Quotient von z und w im K6rper

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